SISTEMAS COORDENADOS EN DOS DIMENSIONES._

Se pueden aplicar sistemas coordenados a un plano mediante pares ordenados. El termino de par ordenado  se refiere a dos números reales uno se designa “primer” numero y el otro “segundo” número. El símbolo (a , b) se emplea para denotar el par ordenado que consta de los números reales a y b, en donde  a es el primer número y b es el segundo.

 Consideremos que dos pares ordenados (a , b) y (c , d) son iguales cuando:

(a , b) = (c , d) si y solo si  a = c    y     b = d

Esto implica que (a , b) ≠ (b , a) si a ≠ b.

Para formar un sistema coordenado rectangular, o cartesiano*, se consideran dos rectas coordenadas perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen cero de ambas.

Se elige la misma unidad de longitud en cada recta, a menos que se especifique lo contrario. Usualmente una de las rectas es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y la otra recta es vertical con dirección positiva hacia arriba.

Las dos rectas se llaman ejes coordenados y el punto 0 es considerado como el origen. Más específicamente, a la recta horizontal la consideramos como el eje X, y a la recta vertical como eje y, y las designamos como x e y, respectivamente.

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante. Que designaremos por I, II, III, y IV, respectivamente.

FORMULA DE LA DISTANCIA._

La distancia d(P₁ , P₂)entre dos puntos cualesquiera P₁(X₁ , Y₂) y P₂(X₂ , Y₂) en un plano coordenado es:

 d(P₁ , P₂)= Ö (X₂ – X₁)² + (Y₂ – Y₁)²  

                                           

EJEMPLO:

Representar los puntos A (-1 , -3), B (6 , 1) y C (2 , -5). Demostrar que el triángulo con vértices A, B y C es un triángulo rectángulo, y hallar su área.

 SOLUCION: los puntos y el triangulo se muestran en la figura. Sabemos que la geometría plana, que un triangulo es rectángulo si y solo si la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al cuadrado del lado restante. Por la formula de la distancia se tiene: 

d(A,B)= Ö(-1-6)²+(-3-1)² = Ö49+16 = Ö65

d(B,C) =Ö(6-2)²+(1+5)² = Ö16+36 = Ö52

d(A,C)= Ö(-1-2)²+(-3+5)² =Ö9+4=Ö13

Como [d(A,B)]² = [d(B,C)]² + [d(A,C)]², el triangulo es rectángulo  con hipotenusa AB. El área es (1/2)Ö52Ö13 = 13 unidades cuadradas. 

PUNTO MEDIO.

Es fácil obtener la fórmula para el punto medio de un segmento de recta. Sean P₁(X₁ , Y₁) y P₂(X₂ , Y₂) dos puntos de un punto coordenado y sea M el punto medio de P₁P₂. Las rectas paralelas al eje Y que pasan por P₁ y P₂ cortan al eje X en A₁(X₁ , 0) Y A₂(X₂ , 0).

FORMULA DEL PUNTO MEDIO._

El punto medio del segmento de recta de P₁(X₁ , Y₁) a P₂(X₂ , Y₂) es: 

Ejemplo: hallar el punto medio del segmento de recta de P₁(-2 , 3) a P₂(4 , -2). Representar los puntos P₁, P₂  y Pm y verificar que d(P₁, Pm) = d(P₂, Pm)

SOLUCION: Aplicando la fórmula del punto medio las coordenadas son   

Con la formula de la distancia obtenemos:

d(P₁, Pm) = Ö(-2-1)²+(3-1/2)²  = Ö9+25/4

d(P₂, Pm) =Ö (4-1)²+(-2-1/2)² =Ö 9+25/4

PARÁBOLAS.

La gráfica se llama parábola. El eje Y se llama eje de la parábola. El punto inferior (0,0) es conocido como vértice de la parábola y decimos que la parábola abre hacia arriba. Si la gráfica estuviese invertida, como sería el caso de y = -x², entonces la parábola abriría hacia abajo y el vértice (0,0) sería el punto más alto de la gráfica.

CIRCUNFERENCIA.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA._

–        Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

–        Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

–        Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);

–        Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)

–        Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

–        Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

–        Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

–        Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

–    Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

EJERCICIO:

Obtener la ecuación de la circunferencia con centro C(-2, 3) y que pasa por el punto D(4, 5).

SOLUCION: 

la figura ilustra la circunferencia. Como D esta sobre la curva, el radio r es d(C , D). la formula de la distancia da r =Ö(-2-4)² +(3-5)² = Ö36+4 = Ö40

al hacer h = -2 y k = 3 en la ecuación de la circunferencia, obtenemos:

(x + 2)² + (y - 3)² = 40 ;     x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0

PENDIENTE DE UNA RECTA.

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta.

La pendiente (m) está dada por:

Esto es, 

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

          Ejemplos

         La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

         

      La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

ECUACIONES DE LA FORMA PENDIENTE-INTERCEPTO

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.

Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 5).

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCION EXPONENCIAL.

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x. 
Como a^x > o para todo x  R, la función exponencial es una función de R en R⁺. 

Gráfica de la Función Exponencial  

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).