NÚMEROS REALES
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son
Ö2 = 1.4142135623730951. . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.
Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b está a la derecha del punto que corresponde a.
LOS NÚMEROS REALES COMPRENDEN:
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R, simbólicamente escribimos:
R = Q
El Conjunto de los Números Reales
Operaciones definidas en el conjunto de los números reales
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, que llamaremos adición y multiplicación.
Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa que si dos números reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado es un número real.
Propiedades de adición en el conjunto de los números reales
Sean a 2 R; b 2 R entonces a + b = b + a (la adición es conmutativa)
Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5
Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R entonces a + (b + c) = (a + b) + c (la adición es asociativa)
Por ejemplo: 7 + (6 + 2) = (7 + 6) + 2
Existe 0; 0 2 R tal que para todo a; a 2 R; a + 0 = 0 + a = a (0 es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo: 35+ 0 =35
Para todo a; a 2 R existe -a; -a 2 R tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 (cada número real Posee inverso aditivo)
Por ejemplo: el inverso aditivo de -8 es 8 pues -8 + 8 = 0
Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números reales
Sean a 2 R; b 2 R entonces a x b = b x a (la multiplicación es conmutativa)
Por ejemplo: 3 x 2 = 2 x 3
Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R entonces a x (b x c) = (a x b) x c (la multiplicación es asociativa)
Por ejemplo: 5 x (2 x 1) = (5 x 2) x 1
Existe 1; 1 2 R tal que para todo a; a 2 R; a x 1 = 1 x a = a (1 es el elemento neutro multiplicativo)
Por ejemplo: 4 x 1 = 4
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
Si a 2 R; b 2 R; c 2 R; entonces se cumple que:
a x (b + c) = a x b + a x c
Por ejemplo: -11 x (3 + 9) = (-11) x 3 + (-11) x 9
La sustracción definida en el conjunto de los números reales
Sean a 2 R; b 2 R.
Llamaremos sustracción de a y b, y denotaremos a - b a la operación definida por:
a - b = a + (b)
Por ejemplo:
a) 5 - 3 = 5 + (-3)
La división definida en el conjunto de los números reales
Sean a 2 R; b 2 R; b 6= 0.
Se define la división de a por b y se denota a /b a la operación definida por:
a / b = a x1b
Como se dijo anteriormente a / b se denota como a/b
es decir: a / b = axb
Orden en el conjunto de los números reales
Representación de los números reales
Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera: dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de esta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1; 2; 3; 4; ::: (en este orden) a la derecha del cero y los números -3;-2;-1; ::: (en este orden) a la izquierda del cero.
...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9...
Números Enteros
Enteros Negativos y Enteros Positivos
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo
Represente en la recta numérica los números
6/5 y-7/2
Solución
6/5= 1.2 y -7/2 = -3.5
Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica 6/5 y-7/2 de la siguiente manera.
1.) Los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales positivos.
2.) Los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números reales negativos.
La relación “menor que" en el conjunto de los números reales
En el conjunto de los números reales se define una relación <, llamada “menor que", de la siguiente manera.
Sean a 2 R; b 2 R. Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, si a - b es un numero negativo.
Por ejemplo:
a.) 2 < 3 pues 2 - 3 = -1 y -1 es negativo
b.) -3 < 1 pues -3 - 1 = -4 y -4 es negativo
De la definición de la relación “menor que" se tiene que todo numero negativo es menor que cero.
La relación “mayor que" en el conjunto de los números reales
Sean a 2 R; b 2 R, se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, si a - b es un número positivo.
Por ejemplo:
a.) 5 > 2 pues 5 - 2 = 3 y 3 es positivo
b.) 3 > -1 pues 3 (¡-1) = 4 y 4 es positivo
c.) -2 > -4 pues -2 - (-4) = 2 y 2 es positivo
De la definición de la relación “mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero.
Algunas propiedades de la relación \menor que"
Si a 2 R; b 2 R entonces se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: a < b;
b < a; a = b
Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R. Si a < b y b < c entonces a < c
Sean a 2 R; b 2 R. Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a x b
Sean a 2 R; b 2 R. Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < a x b
Sean a 2 R; b 2 R. Si a < 0 y 0 < b entonces a x b < 0
Sean a 2 R; b 2 R. Si 0 < a y b < 0 entonces a x b < 0
Sea a 2 R. Si a < 0 entonces 0 < -a
Sean a 2 R; b 2 R. Si a < b entonces -b < -a
Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R; c < 0. Si a < b entonces b x c < a x c
1.) Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el símbolo “<" por el símbolo “>"; las propiedades que se obtienen son ciertas (y corresponden a la relación “mayor que")
2.) Si a y b son números reales: decir que “a es menor que b" es equivalente a decir que
”b es mayor que a".
Simbólicamente se escribe:
Sean a 2 R; b 2 R
a < b , b > a
Por ejemplo:
a.) 2 < 3 es equivalente a 3 > 2
b.) -1 >-5 es equivalente a -5 < -1
c.) -2 < 0 es equivalente a 0 > -2
Notación: Sean a 2 R; b 2 R. La expresión “a < b ó a = b" usualmente se escribe a <b.
La expresión se lee “a" es menor o igual que “b".
Observación:
Sean a 2 R; b 2 R. Para que “a · b" sea verdadera basta con que se cumpla una y sólo una de las siguientes
Condiciones:
1.) a < b;
2.) a = b
Ejemplo
a.) 4 < 6 es verdadera pues 4 < 6
b.) 2< 2 es verdadera pues 2 = 2
c.) 5 < 3 es falsa pues no se cumple 5 < 3 ni 5 = 3
Notación: Sean a 2 R; b 2 R. La expresión “a > b o a = b" usualmente se escribe a > b.
La expresión se lee “a" es mayor o igual que “b".
Observación: Sean a 2 R; b 2 R. Para que “a ¸ b" sea verdadera basta con que se cumpla una y sólo una
de las siguientes condiciones:
1.) a > b;
2.) a = b
Ejemplo:
a.) 3 > -2 es verdadera pues 3 > 2
b.) -2 > 0 es falsa pues no se cumple que -2 > 0 ni -2 = 0
c.) 6 > 6 es verdadera pues 6 = 6
Sistemas de ecuaciones y
Desigualdades
ECUACIONES:
una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es: x=5
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