UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA PARACENTRAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

PROFESORADO EN MATEMÁTICA PARA TERCER CICLO DE EDUCACIÓN BÁSICA Y EDUCACIÓN MEDIA.

LO MÁS IMPORTANTE DE MATEMÁTICA BÁSICA

Exponentes  y Radicales

El concepto de la raíz enésima de un numero nos capacita para ampliar la definición de “x” de exponentes enteros racionales; y, como veremos, con frecuencia es mas fácil trabajar con exponentes racionales que con radicales.

                                                                                          x^1/n = ⁿÖx

Dado que ⁿÖx sea un número real. Así, x^1/n es simplemente otra forma de designar la raíz enésima `principal de x. Además, definimos.

                                                                                       x^m/n = (x^1/n)^m

Para cualquier entero m tal que m/n sea la mínima expresión. Se necesita esta ultima definición se la ley de exponentes (x^r)^s = x^rs va a aplicarse a exponentes racionales.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2. 

Sin embargo, para x < 0 y ciertas opciones de m y n, x^1/n no es un numero real y, en consecuencia, (x^1/n)^m no esta definida, aunque la expresión (x^m)^1/n podría estar definida.

De otra parte, si X^m/n, (x^1/n)^m y (x^m)^1/n cada uno representa un numero real, entonces todos son iguales.Como lo demuestra el siguiente ejemplo,cuando estas tres formasson iguales, una de ellas puede ser mas útil que las otras dos al evaluar ciertas expresiones.

Ejemplo 3.

El siguiente ejemplo ilustra un caso en el cual x^m/n,(x^m)^1/n, y (x^1/n)^m no son equivalentes.

Ejemplo 4

Compare (a) x^m/n, (b) (x^m) ^1/n, y (c) (x^1/n)^m para x=-9, m= 2 y n= 2

Solución. Al sustituir x=-9, m= 2 y n=2, encontraremos que:

    (a)  x^m/n= (-9)^2/2 = (-9)¹  =-9 

    (b)  (x^m)^1/n =[(-9)²]^1/2=81^1/2=9

    (c)  (x^1/n)^m=[(-9)^1/2]²=(√-9)², que no es un numero real, ya que contiene la raíz cuadrada de un numero negativo.

LEYES DE LOS EXPONENTES

Las leyes de los exponentes que se dieron para los exponentes enteros y racionales.

Leyes de los exponentes racionales

Sean x y y números reales y s y r números racionales entonces,

(i)            X^ry^s= x^r+s

(ii)          (x^r)^s= x^rs= (x^s)^r

(iii)         (xy)^r =x^ry^r

(iv)         (x/y)^r= x^r/y^r

(v)          x^r/x^s= x^r-s                      

Ejemplo 5.

Simplifique (5r^3/4/s^1/3)²(2r^-3/2/s^1/2)

Solucion:

(5r^3/4/s^1/3)²(2r^-3/2/s^1/2)=(25r^3/2/s^2/3)(2r^-3/2/s^1/2)=(50r⁰/s^7/6)=50/s^7/6.

RADICALES

Si a es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real no negativo cuyo cuadrado es a. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 4² = 16. De modo parecido, la raíz cuarta del número no negativo a es el número real no negativo cuya curta potencia es a. Por lo tanto, la raíz cuarta de 16 es 2, pues 2⁴ = 16. Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.

la raíz cúbica de cualquier número a es el número único cuyo cubo es a. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 (pues 2³ = 8). Note que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero.

 Por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es -2, pues (-2)³ = -8. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. En realidad, la raíz cúbica de a tiene siempre el mismo signo que a. Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida. 

Un radical es una expresión de la forma, ⁿÖa en la que n Є N y a Є R; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que: 

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. 

Operaciones con radicales

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Multiplicación de radicales: Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice.

 Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

CONJUNTOS Y ELEMENTOS.

¿Qué es un conjunto?

Es la reunió de elementos (personas, animales, plantas, cosas, etc.) cuando están bien definidos, estos se pueden presentar con una letra mayúscula.

Un conjunto puede estar escrito por: EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN.

Por extensión: consiste en la enumeración de los elementos.

Ejemplo:

A: [a, e, i, o, u]

Por compresión: consiste en determinar una característica que englobe a los elementos y nos permitan saber con exactitud los elementos que pertenecen a el.

Ejemplo:

A: [x/x es una vocal].

CRITERIOS IMPORTANTES.

-Si nombramos al conjunto lo aremos con letras mayúsculas.

-Al mencionar los elementos, estos se representan con minúsculas.

-En los conjuntos por compresión la primera letra dentro de las llaves es x. Esta nos representa el tipo de elementos, después del símbolo / que se lee tal que anotamos la característica que poseen dichos elementos x.

TIPOS DE CONJUNTOS.

-CONJUNTO VACIO.

Es el conjunto que no posee elementos y se denota por la letra griega Φ

Ejemplo:

Consideremos el conjunto de números enteros pares entre 6 y 8. Este es un conjunto vacío ya que no posee elementos porque entre 6 y 8 no hay números pares.

Φ= [x/x es un numero par entre 6 y 8].

-CONJUNTO UNITARIO.

Es aquel que solo posee un elemento.

Ejemplo:

A= [x/x es un numero par entre 6 y 10]

A= [8]

-CONJUNTO UNIVERSAL.

Es el enumera la totalidad de los elementos que pertenecen al conjunto tratado. Se representa por el símbolo ц.

Ejemplo:

U= [x/x son las vocales]

U= [a, e, i, o, u]

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Unión de conjuntos.

Sean dos conjuntos A y B llamaremos unión de A y B al conjunto

AUB= [x/x € A o € b]

Esto significa que en la unión están todos aquellos elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o que están en ambos. Gráficamente en diagramas de Venn quedaría:

Intersección de conjuntos.

Sean los conjuntos A y B llamaremos intersección de A con B al conjunto

AΩB={x/x € A Λ B}  

Esto significa que la intersección de A con B están aquellos elementos que pertenecen a A y también  B. Gráficamente con diagrama de Venn quedaría:

NÚMEROS REALES

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos  los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son

Ö2 = 1.4142135623730951. . .     π = 3.141592653589793 . . .     e = 2.718281828459045 . . . 

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí. 

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b está a la derecha del punto que corresponde a.

LOS NÚMEROS REALES COMPRENDEN:

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R, simbólicamente escribimos:

R = Q

 El Conjunto de los Números Reales

 Operaciones definidas en el conjunto de los números reales

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, que llamaremos adición y  multiplicación.

Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa que si dos números reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado es un número real.

Propiedades de adición en el conjunto de los números reales

Sean a 2 R; b 2 R entonces a + b = b + a (la adición es conmutativa)

Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5

 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R entonces a + (b + c) = (a + b) + c (la adición es asociativa)

Por ejemplo: 7 + (6 + 2) = (7 + 6) + 2

 Existe 0; 0 2 R tal que para todo a; a 2 R; a + 0 = 0 + a = a (0 es el elemento neutro aditivo)

Por ejemplo: 35+ 0 =35

Para todo a; a 2 R existe -a; -a 2 R tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 (cada número real Posee inverso aditivo)

Por ejemplo: el inverso aditivo de -8 es 8 pues -8 + 8 = 0

Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números reales

 Sean a 2 R; b 2 R entonces a x b = b x a (la multiplicación es conmutativa)

Por ejemplo: 3 x 2 = 2 x 3

Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R entonces a x (b x c) = (a x b) x c (la multiplicación es asociativa)

Por ejemplo: 5 x (2 x 1) = (5 x 2) x 1

Existe 1; 1 2 R tal que para todo a; a 2 R; a x 1 = 1 x a = a (1 es el elemento neutro multiplicativo)

Por ejemplo: 4 x 1 = 4

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

Si a 2 R; b 2 R; c 2 R; entonces se cumple que:

a x (b + c) = a x b + a x c

Por ejemplo: -11 x (3 + 9) = (-11) x 3 + (-11) x 9

La sustracción definida en el conjunto de los números reales

Sean a 2 R; b 2 R.

Llamaremos sustracción de a y b, y denotaremos a - b a la operación definida por:

a - b = a + (b)

Por ejemplo:

           a) 5 - 3 = 5 + (-3)

La división definida en el conjunto de los números reales

Sean a 2 R; b 2 R; b 6= 0.

Se define la división de a por b y se denota a /b a la operación definida por:

a / b = a x1b

Como se dijo anteriormente a / b se denota como a/b

es decir: a / b = axb

Orden en el conjunto de los números reales

Representación de los números reales

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera: dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de esta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1; 2; 3; 4; ::: (en este orden) a la derecha del cero y los números -3;-2;-1; ::: (en este orden) a la izquierda del cero.

                                   ...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9...

Números Enteros

Enteros Negativos y Enteros Positivos

Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo

Represente en la recta numérica los números

6/5 y-7/2

Solución

6/5= 1.2 y -7/2 = -3.5

Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica 6/5 y-7/2 de la siguiente manera. En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.

1.) Los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales positivos.

2.) Los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números reales negativos.

La relación “menor que" en el conjunto de los números reales

En el conjunto de los números reales se define una relación <, llamada “menor que", de la siguiente manera.

Sean a 2 R; b 2 R. Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, si a - b es un numero negativo.

Por ejemplo:

a.) 2 < 3 pues 2 - 3 = -1 y -1 es negativo

b.) -3 < 1 pues -3 - 1 = -4 y -4 es negativo

De la definición de la relación “menor que" se tiene que todo numero negativo es menor que cero.

La relación “mayor que" en el conjunto de los números reales

Sean a 2 R; b 2 R, se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, si a - b es un número positivo.

Por ejemplo:

a.) 5 > 2 pues 5 - 2 = 3 y 3 es positivo

b.) 3 > -1 pues 3  (¡-1) = 4 y 4 es positivo

c.) -2 > -4 pues -2 - (-4) = 2 y 2 es positivo

De la definición de la relación “mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero.

Algunas propiedades de la relación \menor que"

 Si a 2 R; b 2 R entonces se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: a < b;

 b < a; a = b

 Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R. Si a < b y b < c entonces a < c

 Sean a 2 R; b 2 R. Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a x b

 Sean a 2 R; b 2 R. Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < a x b

 Sean a 2 R; b 2 R. Si a < 0 y 0 < b entonces a x b < 0

 Sean a 2 R; b 2 R. Si 0 < a y b < 0 entonces a x b < 0

Sea a 2 R. Si a < 0 entonces 0 < -a

 Sean a 2 R; b 2 R. Si a < b entonces -b < -a

Sean a 2 R; b 2 R; c 2 R; c < 0. Si a < b entonces b x c < a x c

1.) Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el símbolo “<" por el símbolo “>"; las propiedades que se obtienen son ciertas (y corresponden a la relación “mayor que")

2.) Si a y b son números reales: decir que “a es menor que b" es equivalente a decir que

”b es mayor que a".

Simbólicamente se escribe:

Sean a 2 R; b 2 R

a < b , b > a

Por ejemplo:

a.) 2 < 3 es equivalente a 3 > 2

b.) -1 >-5 es equivalente a -5 < -1

c.) -2 < 0 es equivalente a 0 > -2

Notación: Sean a 2 R; b 2 R. La expresión “a < b ó a = b" usualmente se escribe a <b.

La expresión  se lee “a" es menor o igual que “b".

Observación:

Sean a 2 R; b 2 R. Para que “a · b" sea verdadera basta con que se cumpla una y sólo una de las siguientes

Condiciones:

1.) a < b;

2.) a = b

Ejemplo

a.) 4 < 6 es verdadera pues 4 < 6

b.) 2< 2 es verdadera pues 2 = 2

c.) 5 < 3 es falsa pues no se cumple 5 < 3 ni 5 = 3

Notación: Sean a 2 R; b 2 R. La expresión “a > b o a = b" usualmente se escribe a > b.

La expresión  se lee “a" es mayor o igual que “b".

Observación: Sean a 2 R; b 2 R. Para que “a ¸ b" sea verdadera basta con que se cumpla una y sólo una

de las siguientes condiciones:

1.) a > b;

2.) a = b

Ejemplo:

a.) 3 > -2 es verdadera pues 3 > 2

b.) -2 > 0 es falsa pues no se cumple que -2 > 0 ni -2 = 0

c.) 6 > 6 es verdadera pues 6 = 6

Sistemas de ecuaciones y

Desigualdades

ECUACIONES:

una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

la variable X representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es: x=5